Решение прототипа №27931 (B6)
Просмотров: 6919

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 2. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите $c(\sqrt{2} - 1)$ .

MA.OB10.B4.314/innerimg0.jpg

ЧТО НЕОБХОДИМО ЗНАТЬ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

1) Диагональ квадрата равна стороне, умноженной на $\sqrt{2}$ .
2) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
3) В равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой и высотой.

РЕШЕНИЕ

Иллюстрация к решению прототипа №27931

По условию, ON = OK = OM = 2. Проведем CM - медиану, биссектрису и высоту треугольника АВС. Поскольку СМ - биссектриса, она пройдет через О - центр вписанной окружности, а поскольку СМ - высота, она совпадет с радиусом ОМ.

Найдем ОС и МС. Четырехугольник OKCN - квадрат, его диагональ OC равна стороне ON, умноженной на $\sqrt{2}$ . Поэтому:

Иллюстрация к решению прототипа №27931

Т.к. медиана прямоугольного треугольника МС, проведенная к гипотенузе АВ, равна половине гипотенузы, то

Иллюстрация к решению прототипа №27931

В ответ просят записать Иллюстрация к решению прототипа №27931 .

Ответ: 12