Mat-EGE.ru

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ - 2020

Статьи

Три полезных лайфхака, как решать квадратные уравнения быстрее, чем через дискриминант

Я им такую классную теорему придумал,
а они решают через дискриминант :-(((
(с) Франсуа Виет
“Несуществующие высказывания”

Формула корней, или длинный способ

Всем, кто хотя бы мало-мальски присутствовал на уроках математики в 8 классе, известна формула корней квадратного уравнения. Решение по формуле корней часто называют в простонародье “решением через дискриминант”. Напомним вкратце формулу корней.


[Вы можете также просмотреть содержание этой статьи в видеоформате]

Квадратное уравнение имеет вид ax2+bx+c = 0, где a, b, c – некоторые числа. Например, в уравнении 2x2 + 3x – 5 = 0 эти числа равны: a = 2, b = 3. c = -5. Прежде, чем решать любое квадратное уравнение, нужно “увидеть” эти числа и понять, чему они равны.

Далее считают так называемый дискриминант по формуле D=b^2-4ac. В нашем случае D = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49. Затем из дискриминанта извлекают корень: \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7.

После того, как вычислили дискриминант, применяют формулу корней: x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}; x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} :

x_1=\frac{-3-7}{2 \cdot 2}=\frac{-10}{4}=-2,5
x_2= \frac{-3+7}{2 \cdot 2}=\frac{4}{4}=1

И таким образом, уравнение решено. Оно имеет два корня: 1 и -2,5.

Но это уравнение, как и множество других предлагаемых в школьных учебниках/задачниках, можно было решить гораздо более быстрым способом, если знать пару-тройку лайфхаков. И речь не только о теореме Виета, хотя и она является полезным инструментом.

Лайфхак первый. Если a + b + c = 0, то x_1=1, x_2=\frac{c}{a}.

Он применяется только в том случае, если в квадратном уравнении все три коэффициента a, b, c при сложении дают 0. Например, у нас было уравнение 2x2 + 3x – 5 = 0. Сложив все три коэффициента, получим 2 + 3 – 5, что равно 0. В этом случае можно не считать дискриминант и не применять формулу корней. Вместо этого можно сразу написать, что

x_1=1,
x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{2}=-2,5

(заметьте, что тот же результат мы получили в формуле корней).

Часто спрашивают, всегда ли будет получаться x_1=1? Да, всегда, когда a + b + c = 0.

Лайфхак второй. Если a + c = b, то x_1=-1, x_2=-\frac{c}{a}.

Пусть дано уравнение 5x2 + 6x + 1 = 0. В нём a = 5, b = 6, c = 1. Если сложить “крайние” коэффициенты a и c, получим 5+1 = 6, что как раз равно “среднему” коэффициенту b. Значит, можем обойтись без дискриминанта! Сразу же записываем:

x_1=-1,
x_2=-\frac{c}{a}=\frac{-1}{5}=-0,2

Лайфхак третий (теорема, обратная теореме Виета). Если a = 1, то \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases}

Рассмотрим уравнение x2 – 12x + 35 = 0. В нём a = 1, b = -12, c = 35. Ни под первый, ни под второй лайфхак оно не подходит – условия не соблюдаются. Если бы оно подходило под первый или под второй, то мы бы обошлись без теоремы Виета.

Само использование теоремы Виета подразумевает понимание некоторых полезных приёмов.

Первый приём. Не стоит стесняться записывать саму систему вида \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases} , которая получается при использовании теоремы Виета. Не нужно пытаться во что бы ты ни стало решить уравнение абсолютно устно, без письменных пометок, как это делают “продвинутые пользователи”.

Для нашего уравнения x2 – 12x + 35 = 0 эта система имеет вид

\begin{cases} x_1+x_2 = 12 \\ x_1 \cdot x_2 = 35 \end{cases}

Теперь нам нужно устно подобрать числа x_1 и x_2 , которые удовлетворяют нашей системе, т.е. в сумме дают 12, а при умножении 35.

Так вот, второй приём заключается в том, что начинать подбор нужно не с суммы, а с произведения. Посмотрим на второе уравнение системы и зададимся вопросом: какие числа при умножении дают 35? Если всё в порядке с таблицей умножения, то сразу приходит на ум ответ: 7 и 5. И только теперь подставим эти числа в первое уравнение: будем иметь 7 + 5 = 12, что является верным равенством. Итак, числа 7 и 5 удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому мы сразу пишем:

x_1 = 7, x_2 = 5

Третий приём заключается в том, что если числа не удаётся подобрать быстро (в течение 15-20 секунд), то вне зависимости от причины нужно считать дискриминант и использовать формулу корней. Почему? Потому что корни могут не подбираться, если уравнение их вообще не имеет (дискриминант отрицательный), или же корни представляют собой числа, не являющиеся целыми.

Тренировочные упражнения по решению квадратных уравнений

Попрактикуйтесь! Попробуйте решить следующие уравнения. На каждое уравнение смотрите в следующей последовательности:

  • если уравнение подходит под первый лайфхак (когда a + b + c = 0), то решаем с его помощью;
  • если уравнение подходит под второй лайфхак (когда a + c = b), то решаем с его помощью;
  • если уравнение подходит под третий лайфхак (теорему Виета), решаем с его помощью;
  • и только в самом крайнем случае – если ничего не подошло и/или с помощью теоремы Виета решить не получилось – считаем дискриминант. Еще раз: дискриминант – в самую последнюю очередь!
  1. Решите уравнение x2 + 3x + 2 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак второй
    В данном уравнении a = 1, b = 3, c = 2. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{2}{1}=-2.
    Ответ: -1, -2.

  2. Решите уравнение x2 + 8x – 9 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак первый
    В данном уравнении a = 1, b = 8, c = -9. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-9}{1}=-9.
    Ответ: 1, -9.

  3. Решите уравнение 15x2 – 11x + 2 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    Данное уравнение (единственное из всего списка) не попадает ни под один из лайфхаков, поэтому решать его будем по формуле корней:
    D=b^2-4ac = (-11)^2 – 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 – 120 = 1.

    x_1=\frac{11-1}{2 \cdot 15}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}

    x_2= \frac{11+1}{2 \cdot 15}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}

    Ответ: \frac{1}{3}, \frac{2}{5}.

  4. Решите уравнение x2 + 9x + 20 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак третий (теорема Виета)
    В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \end{cases}
    Подбором устанавливаем, что x_1 = -4, x_2 = -5.
    Ответ: -4, -5.

  5. Решите уравнение x2 – 7x – 30 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак третий (теорема Виета)
    В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -30 \end{cases}
    Подбором устанавливаем, что x_1 = 10, x_2 = -3.
    Ответ: 10, -3.

  6. Решите уравнение x2 – 19x + 18 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак первый
    В данном уравнении a = 1, b = -19, c = 18. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{18}{1}=18.
    Ответ: 1, 18.

  7. Решите уравнение x2 + 7x + 6 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак второй
    В данном уравнении a = 1, b = 7, c = 6. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{6}{1}=-6.
    Ответ: -1, -6.

  8. Решите уравнение x2 – 8x + 12 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак третий (теорема Виета)
    В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 12 \end{cases}
    Подбором устанавливаем, что x_1 = 6, x_2 = 2.
    Ответ: 6, 2.

  9. Решите уравнение x2 – x – 6 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак третий (теорема Виета)
    В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases}
    Подбором устанавливаем, что x_1 = 3, x_2 = -2.
    Ответ: 3, -2.

  10. Решите уравнение x2 – 15x – 16 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак второй
    В данном уравнении a = 1, b = -15, c = -16. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{-16}{1}=16.
    Ответ: -1, 16.

  11. Решите уравнение x2 + 11x – 12 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак первый
    В данном уравнении a = 1, b = 11, c = -12. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-12}{1}=-12.
    Ответ: 1, -12.

Разбор задач №1 – 5 про строительство бани (новый формат ОГЭ-2020, вариант Ященко №7)

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Размеры парного отделения: длина и ширина по 2,5 м, высота 2,2 м. Для разогрева парного помещения можно использовать электрическую или дровяную печь. Три возможных варианта даны в таблице.

Смотреть разбор заданий >>

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведение специального кабеля, что обойдется в 6000 рублей. Кроме того, хозяин подсчитал, что за год электрическая печь израсходует 3100 киловатт-часов электроэнергии по 4 руб. за 1 киловатт-час, а дровяная печь за год израсходует 3 куб. м дров, которые обойдутся по 1500 руб. за 1 куб. м.

1. Найдите объем парного отделения строящейся бани (в куб. м).
Ответ: __________

2. На сколько рублей дровяная печь, подходящая по отапливаемому объему парного отделения, обойдется дешевле электрической с учетом установки?
Ответ: __________

3. На сколько рублей эксплуатация дровяной печи, которая подходит по отапливаемому объему парного отделения, обойдется дешевле эксплуатации электрической в течение года?
Ответ: __________

4. Доставка печи из магазина до участка стоит 600 рублей. При покупке печи ценой выше 20 000 рублей магазин предлагает скидку 5% на товар и 40% на доставку. Сколько будет стоить покупка печи “Кентавр” вместе с доставкой на этих условиях?
Ответ: __________

Смотреть разбор заданий >>

5. Хозяин выбрал дровяную печь. Чертеж печи показан на рисунке. Размеры указаны в см.

Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке по дуге окружности. Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха показаны на рисунке. Найдите радиус в сантиметрах; ответ округлите до десятых.
Ответ: __________

Смотреть разбор заданий >>

Разбор задач №1-5 о земледельческих террасах, уклоне холма и урожайности (новый формат ОГЭ-2020, вариант Ященко №11)

Смотреть разбор заданий >>

В горных районах, особенно в южных широтах с влажным климатом, земледельцы на склонах гор устраивают террасы. Земледельческие террасы – это горизонтальные площадки, напоминающие ступени. Во время дождя вода стекает с верхних террас вниз по специальным каналам. Поэтому почва на террасах не размывается и урожай не страдает. Медленный сток воды с вершины склона вниз с террасы на террасу позволяет выращивать даже влаголюбивые культуры. В Юго-Восточной Азии террасное земледелие широко применяется для производства риса, а в Средиземноморье – для выращивания винограда и оливковых деревьев. Возделывание культур на террасах повышает урожайность, но требует тяжелого ручного труда.

Земледелец владеет несколькими участками, один из которых расположен на склоне холма. Ширина участка 40 м, а верхняя точка находится на высоте 12 м от подножия.

Смотреть разбор заданий >>

  1. Земледелец на склоне холма выращивает мускатный орех. Какова площадь, отведенная под посевы? Ответ дайте в квадратных метрах.
    Ответ: ________
  2. Земледелец решил устроить террасы на своем участке (см. рис. ниже), чтобы выращивать рис, пшено или кукурузу. Строительство террас возможно, если угол склона (уклон) не больше 50% (тангенс угла склона \alpha, умноженный на 100%). Удовлетворяет ли склон холма этим требованиям? Сколько процентов составляет уклон? Ответ округлите до десятых.
    Ответ: ________
  1. На сколько процентов сократилась посевная площадь после того, как земледелец устроил террасы?
    Ответ: ________
  1. Земледелец получает 650 г бурого риса с одного квадратного метра засеянной площади террасированного участка. При шлифовке из бурого риса получается белый рис, но при этом теряется 16% массы. Сколько килограммов белого риса получит земледелец со всего своего участка?
    Ответ: ________
  1. В таблице дана урожайность культур, которые может засеять земледелец на своем террасированном участке. За год обычно собирают два урожая – летом и осенью. По данным таблицы посчитайте наибольшее число килограммов урожая, которое может собрать земледелец с участка за один год, если он может засевать разные культуры.
    Ответ: ________
РисКукурузаПшено
1-й урожай (июнь)650 г/кв.м800 г/кв.мне выращивают
2-й урожай (сентябрь)550 г/кв.мне выращивают600 г/кв.м

Смотреть разбор заданий >>

Разбор задач №1-5 о плане приусадебного участка (новый формат ОГЭ-2020, вариант Ященко №1)

На плане изображен дачный участок по адресу: СНТ Рассвет, ул. Центральная, д. 32 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляется через единственные ворота.

Смотреть разбор заданий >>

При входе на участок слева от ворот находится жилой дом. Помимо жилого дома, на участке есть баня площадью 36 кв. м.
Между жилым домом и баней находится цветник с теплицей. Теплица отмечена на плане цифрой 3. Напротив жилого дома находится бак с водой для полива растений, за ним плодово-ягодные кустарники. В глубине участка есть огород для выращивания овощей, отмеченный цифрой 6.
Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и застелены садовым покрытием, состоящим из плит размером 1м х 1м. Площадка вокруг дома выложена такими же плитами.
К дачному участку проведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Разбор заданий ОГЭ-2020 о плане приусадебного участка
  1. Для объектов, указанных ниже, определите, какими цифрами они обозначены на плане.
    Жилой дом – _______
    Баня – _______
    Бак – _______
    Цветник – _______
  2. Плиты для садовых дорожек продаются в упаковках по 4 штуки. Сколько упаковок плит понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку вокруг дома?
    Ответ: _______
  3. Найдите площадь дома. Ответ дайте в квадратных метрах.
    Ответ: _______
  4. Найдите расстояние от бака с водой до бани (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
    Ответ: _______
  5. Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости приведены в таблице.

Смотреть разбор заданий >>

Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое оборудование. Через сколько часов непрерывной работы экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости установки газового и электрического оборудования?
Ответ: _______

Смотреть разбор заданий >>

Разбор задач №1-5 про страховой полис ОСАГО (новый формат ОГЭ-2020)

Каждый  водитель  в  Российской  Федерации  должен  быть  застрахован  по программе  обязательного  страхования  гражданской  ответственности (ОСАГО).  Стоимость  полиса  получается  умножением  базового  тарифа  на несколько  коэффициентов.  Коэффициенты  зависят  от  водительского  стажа, мощности автомобиля, количества предыдущих  страховых выплат и других факторов.

Смотреть разбор заданий >>

Коэффициент  бонус-малус  (КБМ)  зависит  от  класса  водителя.  Это коэффициент,  понижающий  или  повышающий  стоимость  полиса  в  зависимости  от  количества  ДТП  в  предыдущий  год.  Сначала  водителю присваивается класс 3. Срок действия полиса, как правило, один год. Каждый последующий  год  класс  водителя  рассчитывается  в  зависимости  от  числа страховых  выплат  в  течение  истекшего  года,  в  соответствии  со  следующей таблицей.

Смотреть разбор заданий >>

1) Игорь  страховал  свою  гражданскую ответственность  три  года.  В  течение первого  года была  сделана  одна  страховая  выплата,  после  этого выплат  не было.
Какой класс будет присвоен Игорю на начало четвёртого года страхования?
Ответ: ____________

2) Чему равен КБМ на начало четвёртого года страхования?
Ответ: ____________

3) Коэффициент возраста и водительского стажа (КВС) также влияет на стоимость полиса (см. таблицу).

Когда  Игорь  получил  водительские  права  и  впервые  оформил  полис, ему было 22 года. Чему равен КВС на начало 4-го года страхования?
Ответ: __________________

4) В начале третьего года страхования Игорь  заплатил за полис 18 585 руб. Во сколько  рублей  обойдётся  Игорю  полис  на  четвёртый  год,  если  значения других коэффициентов (кроме КБМ и КВС) не изменятся?
Ответ: __________________

5) Игорь  въехал  на  участок  дороги  протяжённостью  2,6  км  с камерами, отслеживающими  среднюю  скорость  движения. Ограничение  скорости  на дороге  –  100 км/ч.  В  начале  и  в  конце  участка  установлены  камеры, фиксирующие  номер  автомобиля  и  время  проезда.  По  этим  данным компьютер вычисляет среднюю скорость на участке. Игорь въехал на участок в 11:10:33, а покинул его в 11:11:51. Нарушил ли Игорь скоростной режим? Если  да,  на сколько  км/ч  средняя  скорость  на  данном  участке  была  выше разрешённой?

Смотреть разбор задания >>

mat-ege.ru © 2019