Mat-EGE.ru

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике - 2020

Как научиться решать задачи на окружность в ОГЭ и ЕГЭ

Приветствую, друзья. Вам предстоит сдавать экзамен – ОГЭ или ЕГЭ, в котором есть задачи на окружность. В ОГЭ это задания №17. В ЕГЭ такие задания могут попасться в №6. В этой статье мы разберем основные типы таких заданий, и после внимательного прочтения вы научитесь их решать.

Но прежде, чем приступить к разбору заданий, прошу обратить внимание на одну важную вещь, которую многие готовящиеся к экзамену почему-то пропускают мимо. Для того, чтобы хорошо решать задачи, нужны две вещи:

  1. Знание свойств геометрических фигур, о которых идёт речь в задаче
  2. Умение понять, какое конкретно свойство нужно “увидеть” и применить в данной конкретной задаче.

И поэтому мы начнём не с разбора заданий, а со свойств, которые нужно знать и понимать. Конечно же, в первую очередь, нужно понимать базовые вещи – что такое центр окружности, что такое радиус, диаметр и хорда:

Рис. 1. Радиус, диаметр и хорда

Центр окружности – это точка, от которой находятся на одинаковом расстоянии все другие точки окружности.

Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.

Хорда – это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности.

Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности. Или, что то же самое – это отрезок, соединяющий две самые “далёкие” точки окружности.

Свойство №1. Все радиусы окружности равны между собой (как и все диаметры).

Свойство №2. Длина диаметра – это удвоенная длина радиуса.

Пока что вроде бы очевидные вещи. Действительно, очевидные. Но знать их – одно, а увидеть в задаче – это другое. Поэтому предлагаю вам для разминки задачу, в которой встречается одно из упомянутых свойств, нужно только догадаться, где его применить. Перемещайтесь между слайдами, когда захотите свериться или увидеть решение.

Тренировочное задание 1

Ну, как вам задачка на простое свойство “все радиусы равны между собой”? Очень хорошо, если у вас получилось увидеть это свойство. Если же нет – знайте: все ОГЭ-ЕГЭшные геометрические задачки первой части на самом деле очень просты, нужно всего лишь увидеть, в чём именно эта простота.

После решения любой задачи, в том числе и на окружность, полезно отмечать про себя, какими свойствами и геометрическими утверждениями мы пользовались. Давайте сделаем это для задачи, которую только что решили. Итак, чем же мы пользовались?

  1. Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны.
  2. Все радиусы окружности равны между собой.
  3. В любом равностороннем треугольнике все углы равны 60^0.

А еще мы применили приём, который называется “дополнительное построение” – мы достроили радиус окружности. Иногда нам придётся делать такие вещи – дорисовывать прямые, отрезки, углы и даже окружности, которых нет на рисунке.

Теперь настало время вам познакомиться с такими понятиями, как “вписанный угол” и “центральный угол”, понять, как они выглядят и научиться видеть их в задачах. Начнём со вписанного угла.

Посмотрите на рисунок 2а. Там изображён вписанный угол в окружность.

Точка – вершина вписанного угла лежит на окружности. Если вершина не на окружности – это не вписанный угол.

Стороны вписанного угла представляют собой хорды.

Рис. 2. а) вписанный угол в окружность,
б) вписанный угол ВАС, опирающийся на хорду ВС

На рисунке 2б изображён тот же самый угол, только с буквенными обозначениями. А еще красной пунктирной линией показана хорда BC. Хорда BC – это та хорда, на которую опирается вписанный угол А. Очень важно при решении задач видеть, на какую хорду опирается тот или иной угол. Нужно помнить, что хорда, на которую опирается вписанный угол, не является его стороной.

Обязательно попробуйте выполнить тренировочное задание, чтобы убедиться, правильно ли вы поняли, что такое вписанный угол и хорда, на которую он опирается.

Тренировочное задание 2

На рисунке изображён треугольник ABC, вписанный в окружность.

Рис. 3. Треугольник ABC, вписанный в окружность

Ответьте на следующие вопросы:

1) Сколько вписанных углов изображено на рисунке?
2) На какие хорды опирается каждый из этих углов?
    Просмотреть ответы
    1. На рисунке изображены три вписанных угла: ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA.
    2. ∠BAC опирается на хорду BC; ∠BCA опирается на хорду AB; ∠ABC опирается на хорду AC.

Со вписанным углом разобрались. Теперь посмотрите, как выглядит центральный угол:

Рис. 4. Центральный угол

Центральный угол потому и называется центральным, что у него точка-вершина лежит в центре окружности. Стороны центрального угла представляют собой радиусы окружности.

А вот тот же самый центральный угол, но вместе с хордой, на которую он опирается (она показана красным пунктиром):

Рис. 4а. Центральный угол и хорда, на которую он опирается

Да-да, центральный угол, как и вписанный, тоже может опираться на хорду. И самый интересный для нас случай – когда:

      а) на рисунке присутствуют оба угла – и центральный, и вписанный;
      б) они оба опираются на одну и ту же хорду.

Изобразим это на рисунке. Центральный угол нарисован синим цветом, вписанный – зелёным. Оба они опираются на хорду, которая показана красным пунктиром.

Рис. 5. Центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну и ту же хорду

Так вот, эти два угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, обладают важным свойством: вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.


Рис. 6. Свойство центрального и вписанного углов, опирающихся на одну и ту же хорду

Что это значит? Если вписанный угол будет равен х градусов, то соответствующий ему центральный будет равен 2х градусов. Например, вписанный угол равен 30 градусам. Значит, центральный в два раза больше – 60 градусов. Если центральный угол будет 40 градусов, то вписанный вдвое меньше, 20 градусов. В ОГЭ и ЕГЭ есть целая куча задач на окружность, для решения которых нужно просто знать это свойство.

Важное замечание – чтобы вписанный и центральный углы были “соответствующими”, нужно, чтобы центр окружности и вершина вписанного угла лежали по одну сторону от хорды. Именно в этом случае вписанный угол будет равен половине центрального. Разница между двумя случаями показана на рисунке ниже:

Рис. 7. а) центр окружности и вершина угла лежат по одну сторону от хорды, в этом случае вписанный угол равен половине центрального
б) центр окружности и вершина угла лежат по разные стороны от хорды. В этом случае свойство не соблюдается

Попробуйте решить несколько тренировочных задач, в которых применяется это свойство.

Обновлено: 20.03.2020 — 20:54

Поделиться через:


mat-ege.ru © 2019