---

ЧТО НЕОБХОДИМО ЗНАТЬ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

1) Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. Точкой пересечения они делятся пополам.
2) Теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
3) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов
4) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

---

РЕШЕНИЕ

1) Поскольку диагонали ромба BD и AC относятся как 3 : 4, то и половины этих диагоналей OB и AO относятся как 3 : 4. То есть, АО содержит 4 "части", и можем ее обозначить как 4х, тогда ОВ будет содержать 3 таких же части и будет равно 3х. Поскольку у ромба все стороны равны, то каждая из сторон будет равна четверти периметра: АВ = 200 : 4 = 50. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АОВ (а он прямоугольный, т.к. диагонали ромба пересекаются под прямым углом) будем иметь:

АО² + ОВ² = АВ²
(4х)² + (3х)² = 50²
16х² + 9х² = 2500
25х² = 2500
х² = 100
х = 10 или х = -10

По смыслу задачи, нам подходит положительный корень х = 10. Тогда АО = 4х = 40, ОВ = 3х = 30.

2) Площадь прямоугольного треугольника АОВ равна половине произведения катетов:

S_AOB = (AO · OB) : 2 = (40 · 30) : 2 = 600

С другой стороны, площадь треугольника АОВ равна половине произведения основания на высоту:

S_AOB = (AВ · OK) : 2 = (50 · OK) : 2 = 25 · OK, то есть

25 · OK = 600
OK = 600 : 25
OK = 24

3) Высота ромба MK = 2 · OK = 2 · 24 = 48

Ответ: 48

---