Решение прототипа №27413 (B6)
Просмотров: 2217

В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$ , косинус внешнего угла при вершине A равен $-\frac{\sqrt{17}}{17}$ , AC = 0,5 . Найдите BC.

Карточка-подсказка к решению прототипов

ЧТО НЕОБХОДИМО ЗНАТЬ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

1) Некоторые формулы приведения:
sin (180^o - x) = sin x cos (180^o - x) = - cos x tg (180^o - x) = -tg x ctg (180^o - x) = - ctg x
2) Основное тригонометрическое тождество sin²A + cos²A = 1.
3) Катет, противолежащий углу, равен произведению другого катета на тангенс угла.
4) Углы, сумма которых 90^о, называются дополнительными. В нашей задаче это углы А и В. Дополнительные углы обладают таким свойством: cos B = sin A. См. также первый столбец формул карточки-подсказки вверху.

РЕШЕНИЕ

Рисунок к задаче см. на карточке-подсказке выше.

1) Внешний угол при вершине А - это угол BAN. Он смежный с углом ВАС (угол ВАС - это тот самый угол А, который указан в условии задачи), поэтому

BAC = 180^o - BAN,
cos BAC (т.е. cos A) = cos (180^o - BAN) = -cos BAN = - ( $-\frac{\sqrt{17}}{17}$ ) = Иллюстрация к решению прототипа №27397 .

2) Поскольку углы углы А и В дополнительные, то sin B = cos A = .

3) Найдем tg B по известному синусу. Сначала найдем из основного тригонометрического тождества cos B, затем разделим синус на косинус и получим тангенс:

Иллюстрация к решению прототипа №27397

4) Из треугольника АВС: катет АС, противолежащий углу В, равен произведению другого катета ВС на тангенс угла В:

АС = ВС · tg B, откуда
ВС = АС : tg B = 0,5 : 0,25 = 2

Ответ: 2