Решение прототипа №27773 ЕГЭ по математике 2013 на Mat-Ege.ru

Решение прототипа №27773 (B6)
Просмотров: 9957

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен $40^\circ$ . Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

MA.OB10.B4.33/innerimg0.jpg

ЧТО НЕОБХОДИМО ЗНАТЬ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90^o.
2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
3) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
4) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных

РЕШЕНИЕ

По условию, МСН = $40^\circ$ .

1) Сумма острых углов СМН, МСН прямоугольного треугольника НСМ равна 90^o. Значит, СМН = 90^o - МСН = 90^o - 40^o = 50^o

2) Треугольник АМС равнобедренный, т.к. СМ равна половине гипотенузы по свойству из п.3 "Что необходимо знать для решения", а АМ равна половине гипотенузы, т.к. СМ - медиана. Отсюда следствие: угол А равен углу АСМ по свойству углов при основании равнобедренного треугольника.

3) Угол СМН внешний по отношению к треугольнику АМС. Он равен сумме двух внутренних А и АСМ, с ним не смежных. Но А = АСМ как углы при основании равнобедренного треугольника. Следовательно, А = АСМ = 50^o : 2 = 25^o

4) Один острый угол А треугольника АВС мы нашли. Теперь найдем второй. Сумма острых углов А, В прямоугольного треугольника АВС равна 90^o. Значит, В = 90^o- А = 90^o - 25^o = 65^o

Больший угол равен 65^o.

Ответ: 65