Задания 23. Геометрическая задача на доказательство

1	Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника	Смотреть видеоразбор >>
2	Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке F стороны CD. Докажите, что F – середина CD.	Смотреть видеоразбор >>
3	Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.	Смотреть видеоразбор >>
4	Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок, с концами на серединах противоположных сторон параллелограмма, равен четверти его периметра.	Смотреть видеоразбор >>
5	Длина одной из сторон параллелограмма в три раза меньше суммы длин трёх других его сторон. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его углы пополам.	Смотреть видеоразбор >>
6	Сумма длин трёх сторон параллелограмма в три раза больше длины его четвёртой стороны. Докажите, что в этот параллелограмм можно вписать окружность.	Смотреть видеоразбор >>
7	В параллелограмме АВСD угол А равен 30, BH и BG – высоты, проведённые к сторонам AD и CD соответственно. Докажите, что угол HBG равен 30 градусам.	Смотреть видеоразбор >>
8	В параллелограмме АВСD угол B равен 45, AH и AG – высоты, проведённые к сторонам BC и CD соответственно. Докажите, что угол HAG равен 45 градусам.	Смотреть видеоразбор >>
9	АВСD – квадрат. Точки M и N – середины сторон АВ и ВС соответственно. Докажите, что АN перпендикулярна MD.	Смотреть видеоразбор >>
10	Докажите, что хорда окружности, перпендикулярная радиусу и проведённая через его середину, равна стороне правильного треугольника, вписанного в эту окружность.	Смотреть видеоразбор >>
11	Две окружности с радиусами 2 и 6 касаются внешним образом и имеют общую внешнюю касательную, которая касается окружностей в точках А и С соответственно. О – центр малой окружности, О_1 – центр большей окружности, О_1С – радиус, проведённый в точку касания. Докажите, что угол СО_1О равен 60 градусам.	Смотреть видеоразбор >>
12	Четырёхугольник АВСD с диагональю АС вписан в окружность. АВ^2 + ВС^2 =АС^2. Докажите, что S(АВСD) = 1/2(АВ ВС + АD DC).	Смотреть видеоразбор >>
13	В трапеции FEKL известно, что FL II EK. Точка С – точка пересечения диагоналей, точка А – точка пересечения прямых FE и KL. АС пересекает EK в точке В, а FL – в точке D. Докажите, что FD=DL и BE=BK.	Смотреть видеоразбор >>
14	Стороны угла Е пересечены параллельными прямыми MN и KP. Докажите, что EM : EM = EN : EN.	Смотреть видеоразбор >>
15	Окружность, проходящая через вершины А и В треугольника АВС, пересекает стороны треугольника АС и ВС в точках L и К соответственно. Докажите, что треугольники АВС и СКL подобны.	Смотреть видеоразбор >>
16	В треугольнике АМD окружность проходит через вершины А и D, пересекает стороны треугольника АM и DM в точках B и C соответственно. Докажите, что треугольник АMD подобен треугольнику СMB.	Смотреть видеоразбор >>
17	В треугольнике с тупым углом АВС проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники А1В1С и АВС подобны.	Смотреть видеоразбор >>
18	В параллелограмме АВСD К – точка пересечения биссектрис углов А и D. Известно, что точка К принадлежит стороне ВС. Докажите, что треугольник АКD прямоугольный.	Смотреть видеоразбор >>
19	В трапецию АВСD с основаниями ВС и АD вписана окружность с центром в точке О. Докажите, что угол АОВ прямой.	Смотреть видеоразбор >>
20	Через точку D окружности проведена касательная, пересекающая продолжение хорды АВ в точке Е. Докажите, что DЕ^2=АЕ*ВЕ.	Смотреть видеоразбор >>
21	Точки А, В, С и D – середины сторон некоторой трапеции. Докажите, что эта трапеция равнобедренная, если АВСD – ромб.	Смотреть видеоразбор >>
22	АВСD – равнобедренная трапеция, точки М, Р, К, Т – середины её сторон. Докажите, что МРКТ – ромб.	Смотреть видеоразбор >>
23	Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 1 см и 100 см, AC = 10 см. Докажите, что треугольники BAС и DCA подобны.	Смотреть видеоразбор >>
24	Высоты АА1 и СС1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке М. Докажите, что угол АА1С1 равен углу ACС1.	Смотреть видеоразбор >>
25	В треугольнике ABC с тупым углом ВАС проведены высоты ВВ1 и СС1. Докажите, что треугольники В1АС1 и ABC подобны.	Смотреть видеоразбор >>
26	Дана трапеция АВСD. Докажите, что ОF=OE, если точка О – точка пересечения диагоналей трапеции, а отрезок FE проходит через точку О параллельно основаниям трапеции ВС и AD.	Смотреть видеоразбор >>
27	В трапеции АВСD точки M и N – середины оснований ВС и АD соответственно. Докажите, что площади трапеций АВMN и DCMN равны.	Смотреть видеоразбор >>
28	В параллелограмме АВСD диагональ АС является биссектрисой углов А и С. Докажите, что диагональ ВD является биссектрисой углов В и D.	Смотреть видеоразбор >>
29	В равнобедренной трапеции АВСD с основаниями АD и ВС (AD больше BC) и боковыми сторонами АВ и CD диагональ АС является биссектрисой угла А. Докажите, что BD является биссектрисой угла D.	Смотреть видеоразбор >>
30	Из точки А к окружности с центром О проведены две касательные АВ и АС, хорда ВС пересекает АО в точке М. Докажите, что радиус окружности R=АВ * ВМ /АМ	Смотреть видеоразбор >>
31	Дана трапеция АВСD с основаниями ВС и АD. Вершины А и D соединены отрезками с точкой М, лежащей на стороне ВС, а вершины В и С – с точкой N, лежащей на стороне АD. Отрезки ВN и АМ пересекаются в точке О, а отрезки CN и DM – в точке Р. Докажите, что площадь четырёхугольника МРNO равна сумме площадей треугольников АВО и CDP.	Смотреть видеоразбор >>
32	В трапеции АВСD с основаниями АD и BC точка пересечения диагоналей Е делит диагональ BD в отношении 3:5, считая от точки В. Докажите, что S(ADM) : S(BCM)=25:9, где М – точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции.	Смотреть видеоразбор >>
33	В параллелограмме АВСD через точку К, лежащую на стороне ВС и делящую отрезок ВС в отношении 2 : 3, считая от точки В, проведена прямая АК, которая пересекает продолжение стороны СD в точке М. Докажите, что S(ADM) : S(KCM)=25 : 9.	Смотреть видеоразбор >>
34	Дан выпуклый четырёхугольник АВСD. Докажите, что четырёхугольник, образованный серединами сторон АВСD является параллелограммом, площадь которого в два раза меньше, чем площадь АBСD.	Смотреть видеоразбор >>
35	В остроугольном треугольнике АВС провели высоту ВН. Из точки Н на стороны АВ и ВС опустили перпендикуляры НК и НР соответственно. Докажите, что треугольник РВК подобен треугольнику АВС.	Смотреть видеоразбор >>
36	В выпуклом четырёхугольнике АВСD известно, что АВ=5, ВС=корень из 7 , CD=AD=4, АС=4*корень из 2 . Докажите, что около четырёхугольника АВСD можно описать окружность.	Смотреть видеоразбор >>
37	В прямоугольном треугольнике PQR с прямым углом Q проведена высота QL. Докажите, что PQ^2 = PL * PR. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и проекции катета на гипотенузу.	Смотреть видеоразбор >>
38	В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена высота LP. Докажите, что LP^2 = KP * MP. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для проекций катетов на гипотенузу.	Смотреть видеоразбор >>
39	АВСD – трапеция, точка О – точка пересечения её диагоналей, равноудалённая от боковых сторон АВ и СD. Докажите, что трапеция равнобедренная.	Смотреть видеоразбор >>
40	Из точки А, лежащей вне окружности, выходят лучи АВ и АС, пересекающие эту окружность. Докажите, что угол ВАС измеряется полуразностью дуг окружности, заключённых внутри этого угла.	Смотреть видеоразбор >>
41	Докажите, что прямая, содержащая среднюю линию треугольника, равноудалена от вершин треугольника.	Смотреть видеоразбор >>
42	Из концов диаметра FL данной окружности проведены перпендикуляры FF1 и LL1 к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру FL. Докажите, что точка касания является серединой отрезка F1L1.	Смотреть видеоразбор >>
43	Прямые LK и LM касаются окружности с центром в точке О в точках K и M. Точка N симметрична точке О относительно точки M. Докажите, что угол KLN=3 MLN.	Смотреть видеоразбор >>
44	Дан отрезок АВ. По разные стороны от прямой АВ расположены точки Е и F, причём АE=BF и угол ВАЕ равен углу АВF. Докажите, что АВ проходит через середину EF.	Смотреть видеоразбор >>
45	В трапеции АВСD с основаниями ВС и AD АВ перепендикулярно к AD, АС перепендикулярно к СD. Докажите, что АС^2=ВС *AD.	Смотреть видеоразбор >>
46	В прямоугольнике АВСD проведены отрезки FE и KP так, что точки Е, F, K, P лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно и делят их в отношении 1 : 4, считая от вершин В и D. Докажите, что EFKP – параллелограмм.	Смотреть видеоразбор >>
47	В параллелограмме ОМСК биссектриса угла М пересекает сторону ОК в точке А, а биссектриса угла К пересекает сторону МС в точке В. Докажите, что четырёхугольник АМВК – параллелограмм.	Смотреть видеоразбор >>
48	В трапеции АВСD с основаниями ВС и АD угол АВС равен углу АСD. Известно, что АС = 2ВС. Докажите, что АD = 4ВС.	Смотреть видеоразбор >>
49	На диагонали АС параллелограмма АВСD отмечены равные отрезки АМ и СК. Докажите, что ВКDМ – параллелограмм. Примечание. Задачу можно было доказать по другим признакам: Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны , то этот четырёхугольник - параллелограмм. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.	Смотреть видеоразбор >>
50	Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к боковым сторонам, равны.	Смотреть видеоразбор >>
51	Четырёхугольник АВСD с диагональю АC вписан в окружность, S(ABCD)= 1/2(АВВC+ADDC). Докажите, что АВ^2+ВС^2=АС^2.	Смотреть видеоразбор >>
52	В четырёхугольнике АВСD на сторонах отмечены четыре точки, делящие стороны в отношении 1 : 4, считая от вершин В и D. Докажите, что отмеченные точки являются вершинами параллелограмма.	Смотреть видеоразбор >>
53	В параллелограмме АВСD проведены высоты ВЕ и ВF. Докажите, что треугольник АВЕ подобен треугольнику СВF.	Смотреть видеоразбор >>
54	В ромбе MPKT на сторонах отмечены четыре точки, делящие стороны в отношении 2 : 3, считая от вершин М и К. Докажите, что отмеченные точки являются вершинами прямоугольника.	Смотреть видеоразбор >>
55	В параллелограмме АВСD биссектрисы углов АDC и DAB пересекаются в точке О. Докажите, что угол АОD - прямой	Смотреть видеоразбор >>
56	ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС, диагонали которой пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и ВОС подобны.	Смотреть видеоразбор >>
57	В ромбе АВСD диагональ АС, равная d, образует со сторонами угол a. Докажите, что площадь ромба АВСD может быть вычислена по формуле S=d^2tga/2	Смотреть видеоразбор >>
58	В треугольнике АВС точки М, N и Р расположены на сторонах АВ, ВС и АС соответственно, при этом АМ=MB/3 , BN=NC/3 , CP=PA/3. Докажите, что площадь треугольника MNP составляет 43,75% площади треугольника АВС.	Смотреть видеоразбор >>
59	В треугольнике АВС точки M, N и Р– середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. Докажите, что площадь треугольника МNР в 4 раза меньше площади треугольника АВС.	Смотреть видеоразбор >>
60	В квадрате АВСD отмечены точки M и N – середины сторон ВС и СD соответственно. Докажите, что площадь треугольника AMN составляет 3/8 от площади квадрата АВСD.	Смотреть видеоразбор >>
61	Докажите, что расстояние от вершины треугольника до любой точки противолежащей стороны меньше половины периметра треугольника.	Смотреть видеоразбор >>
62	Докажите, что диагональ четырёхугольника меньше его полупериметра.	Смотреть видеоразбор >>
63	На стороне АВ взяли точку F, на стороне ВС – точку G, на стороне СD – точку H, на стороне АD – точку I. Докажите, что периметр четырёхугольника FGHI меньше периметра четырёхугольника АВСD.	Смотреть видеоразбор >>
64	Периметр треугольника равен 24. Докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из его вершин больше 4.	Смотреть видеоразбор >>
65	Сумма длин диагоналей выпуклого четырёхугольника равна 8. Докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из вершин этого четырёхугольника не меньше 2.	Смотреть видеоразбор >>
66	В прямоугольном треугольнике АВС точка М лежит на катете АС, точка N лежит на гипотенузе ВС. Отрезок MN перпендикулярен ВС, касается окружности, вписанной в треугольник АВС, образуя четырёхугольник АВNМ. Докажите, что АВ+MN = АМ+BN.	Смотреть видеоразбор >>
67	Пусть m1 и m2 – отрезки, соединяющие середину одного из оснований равнобедренной трапеции с серединой бокового ребра и с серединой противоположного основания, a – угол между отрезками m1 и m2. Докажите, что площадь трапеции равна 2m1m2sin a	Смотреть видеоразбор >>
68	В прямоугольном треугольнике АВС точка H – проекция точки В на гипотенузу АС, М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите, что отрезки MN и BH взаимно перпендикулярны.	Смотреть видеоразбор >>
69	В параллелограмме АВСD угол А равен 300, а высота, проведенная из вершины В к стороне АD, в 2 раза меньше высоты, проведенной из вершины В к стороне СD. Докажите, что площадь параллелограмма АВСD равна площади квадрата, построенного на стороне АВ.	Смотреть видеоразбор >>
70	В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 60. Точка О является центром окружности, описанной около треугольника АВС, а точка Н является точкой пересечения высот треугольника АВС. Докажите, что угол АОС= АНС=120.	Смотреть видеоразбор >>
71	Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекают прямую ВС в точках Р и Q соответственно. Докажите, что середины отрезков ВС и PQ совпадают.	Смотреть видеоразбор >>
72	Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 17 см и 39 см, а расстояние между их центрами – 44 см. Найдите длину общей хорды окружностей.	Смотреть видеоразбор >>
73	Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.	Смотреть видеоразбор >>
74	Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.	Смотреть видеоразбор >>
75	Докажите, что сумма диагоналей параллелограмма меньше его периметра.	Смотреть видеоразбор >>
76	В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы AM и BN. Докажите, что площади треугольников ADM и BCN равны.	Смотреть видеоразбор >>
77	На стороне ВС квадрата ABCD взята точка К. Докажите, что площадь треугольника AKD равна половине площади квадрата.	Смотреть видеоразбор >>
78	Докажите, что если в равнобедренной трапеции трапеции высота равна средней линии, то диагонали трапеции взаимно перпендикулярны.	Смотреть видеоразбор >>
79	В параллелограмме PKMN точка С – середина стороны PK. Известно, что СМ=СN. Докажите ,что данный параллелограмм – прямоугольник.	Смотреть видеоразбор >>
80	Биссектриса угла D параллелограмма АВСD пересекает сторону ВС в точке Е так, что СЕ : ВЕ= 2 : 3. Докажите, что периметр параллелограмма АВСD равен 7АВ.	Смотреть видеоразбор >>
81	В выпуклом четырехугольнике АВСD угол АВD равен углу АСD. Докажите, что угол АСВ равен углу АDВ.	Смотреть видеоразбор >>
82	Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки М плоскости до вершин А и С прямоугольника АВСD равна сумме квадратов расстояний до вершин В и D.	Смотреть видеоразбор >>
83	В круге проведены две перпендикулярные хорды АС и ВD, пересекающиеся в точке М. Докажите, что прямая, проходящая через М перпендикулярно АВ, делит СD пополам.	Смотреть видеоразбор >>
84	Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Докажите, что точка М равноудалена от прямых АВ, АD и СD.	Смотреть видеоразбор >>
85	На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB^2–AC^2=MB^2–MC^2.	Смотреть видеоразбор >>
86	В равнобедренном треугольнике АВС из концов основания АС проведены прямые, которые составляют с основанием равные углы и пересекаются в точке К. Докажите, что треугольники АВК и ВСК равны.	Смотреть видеоразбор >>
87	Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.	Смотреть видеоразбор >>
88	Докажите, что сумма радиусов вписанной и описанной окружностей в прямоугольном треугольнике равна полусумме катетов.	Смотреть видеоразбор >>
89	Докажите, что если у треугольника равны две высоты, то этот треугольник равнобедренный.	Смотреть видеоразбор >>
90	Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.	Смотреть видеоразбор >>
91	Радиус ОС окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведенная через точку С, параллельна хорде АВ.	Смотреть видеоразбор >>
92	Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.	Смотреть видеоразбор >>
93	Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы.	Смотреть видеоразбор >>
94	В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники А1СВ1 и АСВ подобны.	Смотреть видеоразбор >>
95	В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников AОB и CОD равны.	Смотреть видеоразбор >>
96	В четырехугольнике две стороны параллельны друг другу, а две другие перпендикулярны диагоналям. Докажите, что перпендикулярные диагоналям стороны равны между собой.	Смотреть видеоразбор >>
97	В треугольнике АВС известно, что АВ=3, ВС=8 и АС=9, АМ – биссектриса треугольника. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что биссектриса угла С делит пополам отрезок MN.	Смотреть видеоразбор >>
98	Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причем точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.	Смотреть видеоразбор >>
99	На медиане KF треугольника MKP отмечена точка E. Докажите, что если EM=EP, то KM=KP.	Смотреть видеоразбор >>
100	Докажите, что сумма длин медиан треугольника меньше его периметра.	Смотреть видеоразбор >>
101	Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат.	Смотреть видеоразбор >>
102	В треугольнике АВС угол АСВ тупой, ВО перпендикулярен АС, OF перпендикулярен АВ, OD перпендикулярен ВС. Докажите, что углы АСВ и DFB равны.	Смотреть видеоразбор >>
103	Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.	Смотреть видеоразбор >>
104	Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.	Смотреть видеоразбор >>
105	Докажите, что в трапеции, диагонали которой являются биссектрисами углов при одном из оснований, длины трёх сторон равны.	Смотреть видеоразбор >>
106	На средней линии AC трапеции PKMN с основанием KM и PN выбрали произвольную точку T. Докажите, что сумма площадей треугольников KTM и PTN равна сумме площадей треугольников KTP и MTN.	Смотреть видеоразбор >>
107	В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и САВ также равны.	Смотреть видеоразбор >>
108	В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60.	Смотреть видеоразбор >>
109	Медианы треугольника, проведённые к двум его сторонам равны между собой. Докажите, что треугольник равнобедренный.	Смотреть видеоразбор >>
110	Середины сторон параллелограмма являются вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.	Смотреть видеоразбор >>
111	В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ACB и ADB равны. Докажите, что углы ABD и AСD также равны.	Смотреть видеоразбор >>
112	Точка М лежит на окружности радиуса R, описанной около прямоугольника ABCD. Докажите, что МА^2+МВ^2+МС^2+МD^2=8R^2	Смотреть видеоразбор >>
113	Из вершины В треугольника АВС опущены перпендикуляры ВК и ВМ на биссектрисы внешних углов треугольника, не смежных с углом В. Докажите, что длина отрезка КМ равна полупериметру треугольника АВС.	Смотреть видеоразбор >>
114	На основаниях АВ и СD вне трапеции построены квадраты. Докажите, что прямая, соединяющая их центры, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.	Смотреть видеоразбор >>
115	Докажите, что в прямоугольном треугольнике произведение длин отрезков, на которые елит гипотенузу точка касания с вписанной окружностью, равна площади треугольника.	Смотреть видеоразбор >>
116	На одной из параллельных сторон трапеции взята точка А, на другой – точка В. Докажите, что отрезок АВ делится средней линией трапеции пополам.	Смотреть видеоразбор >>
117	В выпуклом четырёхугольнике ABCD противоположные углы А и С прямые. На диагональ АС опущены перпендикуляры ВМ и DN. Докажите, что СМ = NA.	Смотреть видеоразбор >>
118	Биссектрисы углов А и D равнобедренной трапеции АВСD пересекаются в точке М стороны ВС. Докажите, что М – середина ВС.	Смотреть видеоразбор >>
119	Пусть Е – середина стороны АВ трапеции АВСD (ВС॥ АD). Докажите, что площадь треугольника ЕСD равна половине площади трапеции АВСD.	Смотреть видеоразбор >>
120	Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.	Смотреть видеоразбор >>
121	Докажите, что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника в 1,5 раза больше квадрата гипотенузы.	Смотреть видеоразбор >>
122	В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Докажите, что если АВ+ВМ=АС+СМ, то треугольник АВС – равнобедренный.	Смотреть видеоразбор >>
123	Дан параллелограмм ABCD. Прямая, параллельная AB, пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно. Докажите, что углы ADM и ABN равны.	Смотреть видеоразбор >>
124	Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Вписанная в него окружность с центром О касается боковой стороны ВС в точке Р и пересекает биссектрису угла В в точке М. Докажите, что отрезки МР и ОС параллельны.	Смотреть видеоразбор >>
125	Четырехугольник ABCD таков, что около него можно описать окружность и в него можно вписать окружность. Разность длин сторон AD и BC равна разности сторон АВ и СD. Докажите, что диагональ АС – диаметр описанной окружности.	Смотреть видеоразбор >>
126	В равностороннем треугольнике ABC точки Е, F, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник ЕFK — равносторонний. Два способа решения задачи.	Смотреть видеоразбор >>
127	В треугольнике АВС прямая, проходящая через вершину А, делит медиану ВМ пополам. Докажите, что эта прямая делит сторону ВС в отношении 1 : 2.	Смотреть видеоразбор >>
128	Докажите, что расстояние от всякой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника, до одной из его вершин равно сумме расстояний от этой точки до двух других вершин.	Смотреть видеоразбор >>
129	Две окружности с радиусами R и r касаются друг друга внешним образом в точке А. Общие касательные AD и BC к окружностям пересекаются в точке D. Докажите, что AD^2 = Rr.	Смотреть видеоразбор >>
130	Докажите, что длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе этого треугольника.	Смотреть видеоразбор >>
131	Задача 1. Докажите что прямая, которая делит пополам гипотенузу и катет прямоугольного треугольника, параллельна другому катету. Задача 2. В прямоугольном треугольнике АВС точка H – проекция точки В на гипотенузу АС, М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите, что отрезки MN и BH взаимно перпендикулярны.	Смотреть видеоразбор >>
132	Пусть Н – точка пересечения высот треугольника АВС. Докажите, что точка Н1, симметричная точке Н относительно любой стороны треугольника АВС, лежит на окружности, описанной около этого треугольника.	Смотреть видеоразбор >>
133	В треугольнике АВС угол В равен 600, биссектрисы AD и СЕ пересекаются в точке О. Докажите, что OD = ОЕ.	Смотреть видеоразбор >>
134	Докажите, что если три медианы треугольника равны, то он равносторонний.	Смотреть видеоразбор >>
135	Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360 градусам.	Смотреть видеоразбор >>
136	Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4,5 и 18, BD = 9. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.	Смотреть видеоразбор >>
137	Докажите, что в выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда АВ + СD = AD + BC.	Смотреть видеоразбор >>
138	Четыре точки окружности следуют в порядке А, В, С и D. Продолжения хорды АВ за точку В и хорды CD за точку С пересекаются в точке Е, причем угол АЕD равен 60. Угол АВD в три раза больше угла ВАС. Докажите, что AD – диаметр окружности.	Смотреть видеоразбор >>