Решения прототипов B12 по математике

Решение прототипа №28002 (B12)

Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом $q = 2 \cdot 10^{-6}$ Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v = 5 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол $\alpha$ с направлением движения шарика. Значение индукции поля $B = 4 \cdot 10^{-3}$ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $F_{\text{л}} = qvB\sin \alpha$ (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $\alpha \in \left[ {0^\circ ;180^\circ } \right]$ шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $F_{\text{л}}$ была не менее чем $2 \cdot 10^{-8}$ Н? Ответ дайте в градусах.

Смотреть решение | Обсуждение | Видеоуроки по решению задач B12

Решение прототипа №28003 (B12)

Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой $H=\frac{{v_0^2 }}{{4g}}(1 - \cos 2\alpha )$ , где v_0 = 20 м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с ${}^2$ ). При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Смотреть решение | Обсуждение | Видеоуроки по решению задач B12

Решение прототипа №28004 (B12)

Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле $L=\frac{{v_0^2 }}{g}\sin 2\alpha$ (м), где v_0=20 м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с ${}^2$ ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

Смотреть решение | Обсуждение | Видеоуроки по решению задач B12

Решение прототипа №28005 (B12)

Плоский замкнутый контур площадью S = 0,5 м ${}^2$ находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой $\varepsilon_{i} = aS\cos \alpha$ , где $\alpha$ — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, $a=4 \cdot 10^{-4}$ Тл/с — постоянная, S — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м ${}^2$ ). При каком минимальном угле $\alpha$ (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать $10^{-4}$ В?

Смотреть решение | Обсуждение | Видеоуроки по решению задач B12

Решение прототипа №28006 (B12)

Трактор тащит сани с силой F=80 кН, направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной S=50 м вычисляется по формуле $A=FS\cos\alpha$ . При каком максимальном угле $\alpha$ (в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?

Смотреть решение | Обсуждение | Видеоуроки по решению задач B12

Решение прототипа №28007 (B12)

Трактор тащит сани с силой F=50 кН, направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Мощность (в киловаттах) трактора при скорости v=3 м/с равна $N = Fv\cos \alpha$ . При каком максимальном угле $\alpha$ (в градусах) эта мощность будет не менее 75 кВт?

Смотреть решение | Обсуждение | Видеоуроки по решению задач B12

Решение прототипа №28008 (B12)

При нормальном падении света с длиной волны $\lambda=400$ нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением $d\sin \varphi= k\lambda$ . Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Смотреть решение | Обсуждение | Видеоуроки по решению задач B12

Решение прототипа №28009 (B12)

Два тела массой m=2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v=10 м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением $Q = mv^2 \sin ^2 \alpha$ . Под каким наименьшим углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?

Смотреть решение | Обсуждение | Видеоуроки по решению задач B12

Решение прототипа №28010 (B12)

Катер должен пересечь реку шириной L = 100 м и со скоростью течения u =0,5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением $t = \frac{L}{u}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}\alpha$ , где $\alpha$ — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Смотреть решение | Обсуждение | Видеоуроки по решению задач B12

Решение прототипа №28011 (B12)

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью v = 3 м/с под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u = \frac{m}{{m + M}}v\cos \alpha$ (м/с), где m = 80 кг — масса скейтбордиста со скейтом, а M = 400 кг — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

Смотреть решение | Обсуждение | Видеоуроки по решению задач B12

Решение прототипа №28012 (B12)

Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону $v(t)=0,5\sin \pi t$ , где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле $E = \frac{{mv^2 }}{2}$ , где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее $5 \cdot 10^{-3}$ Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Смотреть решение | Обсуждение | Видеоуроки по решению задач B12

Решение прототипа №28013 (B12)

Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону $v(t)=0,5\cos \pi t$ , где t — время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле $E=\frac{{mv^2 }}{2}$ , где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее $5 \cdot 10^{-3}$ Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Смотреть решение | Обсуждение | Видеоуроки по решению задач B12

Решение прототипа №28014 (B12)

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v(t) = 5\sin \pi t$ (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Смотреть решение | Обсуждение | Видеоуроки по решению задач B12