Задания №3 ЕГЭ по математике (нумерация 2012 г)

Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

РЕШЕНИЕ

Площадь равна 20 – (4 + 4 + 1 + 1) = 10.

Как узнали и откуда все эти циферки? Смотрите аналогичное решение.

Ответ: 10.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

РЕШЕНИЕ

“Разрежем” четырехугольник красной линией (ее длина 5 см). Получим два треугольника с общим основанием, равным 5 (красная линия), а их высоты (зеленым) будут равны 2 и 3.

Поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту (S = 0,5ah), то площадь первого (верхнего) треугольника равна 0,5 · 5 · 2 = 5, а площадь нижнего равна  0,5 · 5 · 3 = 7,5.

Площадь всего четырехугольника равна 5 + 7,5 = 12,5.

Ответ: 12,5.

P.S. Можно было решать, как здесь.

Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

РЕШЕНИЕ

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Здесь диагонали равны 4 и 6, поэтому площадь равна 4 · 6 / 2 = 24/2 = 12.

Ответ: 12.

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

РЕШЕНИЕ

Выполним дополнительные построения, как на рисунке. Будем иметь два треугольника: один большой (АВС), а другой маленький (АКС). Площадь искомой фигуры – разность площадей ABC и AKC.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Основание треугольников АВС и АКС равно 6 (красная линия), высота треугольника АВС равна 4, высота АКС равна 2. Итак, площадь АВС равна 6 · 4 / 2 = 12, площадь АКС равна  6 · 2 / 2 = 6.

Площадь фигуры равна 12 – 6 = 6.

Ответ: 6.

P.S. Это один из способов решения задачи. Можно было просто “переполовинить” фигуру по вертикали зеленой линией и найти площадь каждого тупоугольного треугольника, как здесь.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

РЕШЕНИЕ

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = (a+b)·h/2, где a, b – основания трапеции, h – ее высота.

В данном случае основания равны 1 и 6, высота 5.

S = (1+6)·5/2 = 35/2 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

РЕШЕНИЕ

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = (a+b)·h/2, где a, b – основания трапеции, h – ее высота.

В данном случае основания равны 1 и 4, высота 6.

S = (1+4)·6/2 = 30/2 = 15.

Ответ: 15.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

РЕШЕНИЕ

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = (a+b)·h/2, где a, b – основания трапеции, h – ее высота.

В данном случае основания равны 2 и 5, высота 4.

S = (2+5)·4/2 = 28/2 = 14.

Ответ: 14.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

РЕШЕНИЕ

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = (a+b)·h/2, где a, b – основания трапеции, h – ее высота.

В данном случае основания равны 9 и 4, высота 5.

S = (9+4)·5/2 = 65/2 = 32,5.

Ответ: 32,5. 

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

РЕШЕНИЕ

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = (a+b)·h/2, где a, b – основания трапеции, h – ее высота.

В данном случае основания равны 1 и 4, высота тоже 4.

S = (1+4)·4/2 = 20/2 = 10.

Ответ: 10. 

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

РЕШЕНИЕ

Данная задача решается аналогично прототипу 27551.

Параллелограмм нужно дополнить до прямоугольника:

Площадь прямоугольника равна 4 · 8 = 32, площади белых треугольников равны 4 · 5 / 2 = 20/2 = 10. Следовательно, площадь параллелограмма равна 32 – 2 · 10 = 32 – 20 = 12.

Ответ: 12.

Найдите (в см²) площадь фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). В ответе запишите .

РЕШЕНИЕ

Площадь всего круга вычисляется по формуле S = πR², где R – радиус окружности. В данном случае радиус равен 4 (это видно из рисунка). Значит, площадь всего круга равна 
S = π · 4² = 16π.

Поскольку заштриховано только 3/4 круга, то площадь заштрихованной фигуры будет равна

S = (3/4) ·  16π =
16π
· 3 / 4 = 12π.

В ответ просят записать S/π = 12π / π = 12.

Ответ: 12.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (9;6), (9;9).

РЕШЕНИЕ

На рисунке изображен прямоугольный треугольник. Его катеты a, b равны: “горизонтальный” a = 9 – 1 = 8 и “вертикальный” b = 9 – 6 = 3.

Площадь S прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

S = ab/2 = 8 · 3 / 2 = 12.

Ответ: 12.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (9;6), (7;9).

РЕШЕНИЕ

Сразу скажем, что цифра 7 внизу, на оси ОХ, никакого влияния на решение и ответ задачи не окажет.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Основание (“горизонтальная”, нижняя сторона треугольника) равно 9 – 1 = 8, а высота на рисунке идет вдоль вертикальной линии, которая внизу оканчивается цифрой 7. Она равна 9 – 6 = 3.

Площадь треугольника S равна половине произведения основания a на высоту h:

S = ah/2 = 8 · 3 / 2 = 12.

Ответ: 12.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1;6), (9;6), (10;9).

РЕШЕНИЕ

Основание треугольника а равно 9 – 1 = 8. Высота h равна 9 – 6 = 3.

Площадь треугольника S равна половине произведения основания a на высоту h:

S = ah/2 = 8 · 3 / 2 = 24/2 = 12.

Ответ: 12.

Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (0;0), (10;7), (7;10).

РЕШЕНИЕ

Дополним до прямоугольника, как показано на рисунке (в данном случае получится квадрат):

Площадь искомой фигуры равна разности площадей красного квадрата и трех белых прямоугольных треугольников внутри квадрата.

Площадь квадрата равна 10 · 10 = 100.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Следовательно, площади белых треугольников равны 7 · 10 / 2 = 35,  7 · 10 / 2 = 35,  3 · 3 / 2 = 4,5.

Площадь искомого треугольника равна 100 – 35 – 35 – 4,5 = 25,5.

Ответ: 25,5.